Çoğu zaman iyi bir köşe genişlemesi, bir ağın istenen bir özelliğidir. “Tüm küçük düğüm kümelerinin büyük komşuluklara sahip olduğu” bu özelliği yakalayan yaygın bir tanım şu şekildedir.

Büyük bir köşe genişlemesi cV çok önemlidir, örn. paralel sıralama ağlarının, süper yoğunlaştırıcıların, hataya dayanıklı ağların ve rastgele üreteçleri simüle eden ağların inşası için; ikincisi, küçük örnek uzayları yoluyla rastgelelikten arındırma için önemli bir araçtır. Olasılık yöntemleri kullanılarak, neredeyse kesinlikle iyi genişleme özelliklerine sahip olacak rastgele bir ağ oluşturulabilir, ancak tanımdan genişleme özelliklerini ölçmek zordur. Bu nedenle aşağıdaki sınırlar çok kullanışlıdır.

Yönlendirme Numarası

Bir dizi (ayırt edilebilir) ‘çakıl’ düşünün. Başlangıçta, her çakıl bağlı G = (V,E), |V| grafiğinin ayrı bir tepe noktasında bulunur. = n. Bize V üzerinde bir π permütasyonu verildi.

Amaç, başlangıçta i ∈ V tepe noktasında bulunan her çakıl taşını π(i) tepe noktasına taşımaktır. Bu, aşağıdaki formun birkaç adımında yapılmalıdır. Her adımda, bir dizi ayrık kenar E0 ⊆ E seçin ve E0’daki her bir kenarın uç noktalarındaki çakılları değiştirin.

Hedefi gerçekleştirmek için gereken minimum adım sayısı rt(G, π) ile gösterilir. G’nin yönlendirme numarası rt(G)’dir. Şimdi G bağlantılı ve d-düzenli olsun. Yönlendirme sayısını λn−1 cinsinden üst sınırlayabiliriz. Sadece aşağıdaki sonucu alıntılıyoruz.

Kromatik Sayı

Bir grafiğin renklendirilmesi, bitişik köşeler farklı renklere sahip olacak şekilde köşelere renklerin, örneğin doğal sayıların atanmasıdır. Grafiğe k farklı renk atanırsa, k-renklendirmeden söz ederiz.

Bir grafiğin kromatik sayısı, bir renklendirme için gerekli olan minimum renk sayısıdır. Kromatik sayıyı χ(G) ile gösteriyoruz.
Kromatik sayının hesaplanmasının NP-zor olduğu iyi bilinmektedir. Ancak özdeğerler bize alt ve üst sınırları verir. Yalnızca komşuluk matrisinin özdeğerlerini dikkate alıyoruz.

Bağımsızlık Numarası

Bağımsız bir küme, hiçbiri o kümeden başka bir köşeye bitişik olmayacak şekilde bir köşeler kümesidir. Bağımsız kümelere kararlı kümeler de denir. Bir G grafiği için, bağımsızlık sayısı α(G), tüm bağımsız G kümeleri arasında bağımsız bir maksimal kardinalite kümesinin kardinalitesidir.

1inG’den büyük bir boyut kümesi olduğunda. Bu amaçla, S⊆V olsun, sabit boyut seti s := |S| > 1. Denklem s = n için doğrudur, çünkü o zaman tüm i∈{1,…,n} için geçerlidir .Çözüm < ∈ n için d ̄ =0 olur. O zaman x sabit değildir, yani 1’in katı değildir.

Kromatik polinom
Komşuluk matrisi ile Graf oluşturma
Komşuluk Listesi
Graf Veri Modeli uygulamaları
Yönlü Graf

Biseksiyon Genişliği

Çift sayıda köşe noktasına sahip bir grafik verildiğinde, Minimum İkiye Bölme problemi, köşeleri mümkün olduğu kadar az kenarla birbirine bağlanan eşit boyutta iki sınıfa ayırmayı amaçlar. İki sınıf arasındaki minimum kenar sayısına grafiğin ikiye bölme genişliği denir.

Minimum İkiye Bölme probleminin karar versiyonu NP-tamamlıdır ve şu anda en iyi polinom yaklaşım algoritmasının yalnızca O(log2 n) çarpma hatası içinde kalması garanti edilir. İkiye bölme genişliğindeki aşağıdaki sınır, bir sonucun özel bir durumudur.

Bu sınırın, ancak ve ancak tüm köşeler tam olarak λ2 (L) kesme kenarlarıyla çakışıyorsa sıkı olduğunu göstermiştir; bu, örneğin tam grafikler, 2 tam ikili grafik, hiperküp ve Petersen grafiği için doğrudur.

Bununla birlikte, √n × √n ızgara grafiği için ikiye bölme genişliği √n iken λ2 (L) = 2 − 2 cos(π/√n) ≈ π2/n [60] ve dolayısıyla n · λ2(L) ≈ π2 . Dolayısıyla, optimum ikiye bölme 44 genişliği ile Lemma 14.4.16’nın sınırı arasındaki boşluk büyük olabilir.

Daha önce bahsedildiği gibi, ikiye bölme genişliği izoperimetrik sayı ile yakından ilişkilidir: doğrudan i(G) ve bw(G) tanımından i(G) ≤ 2bw(G) elde ederiz. Bu nedenle, i(G) üzerindeki alt sınırlar, bw(G) üzerindeki alt sınırları verir.

İspat için λ := λ2(L), δ := δ(G) ve ∆ := ∆(G) yazalım. λ = 0 ise, G bağlantısı kesilir ve böylece i(G) = 0 olur ve işimiz biter. G’nin n ≥ 4 veya daha fazla köşede tam bir grafik olduğu durumu, λ = n kullanılarak kolayca çözülebilir.

Tüm {i, j} ∈ E kenarlarını toplarken, terimlerin kenarın hangi ucunun gerçekte i ve hangisinin j olduğuna bağlı olmaması gerektiğini unutmayın. Bunun burada, örneğin önceki hesaplamada her zaman böyle olduğunu gözlemleyin, çünkü tüm i,j∈V için kullanılır.

Bu denklemde ‘α’ terimini tamamen bırakmak istiyoruz. Bu amaçla, W’nin tanımına göre α ≤ 0’a sahip olduğumuzu gözlemleyin. Ayrıca, yine λ’nın özdeğer özelliğini kullanmak gerekir.

Şimdi bunu aşağıdan bağlayacağız. 0=t0 <t1 <…<tN, g’nin bileşenlerinin tüm farklı değerleri olsun. Vk tanımlayın := {i ∈ V ; k ∈ {0,…,N} için gi ≥ tk} ve kolaylık için VN+1 := ∅.

O halde, k ∈ {1,…,N + 1} için Vk ⊆ W olur ve dolayısıyla |Vk| ≤ |W|, dolayısıyla |Vk| = min{|Vk|,|V \Vk|}. Ayrıca VN ⊆ VN−1 ⊆ …V1 = W ⊆ V0 = V olduğunu ve |Vk|−|Vk+1| tüm k ∈ {0,…,N} için g’deki girişlerin sayısı tk’ye eşittir. 2 2 {i,j}∈E gi − gj toplamını uygun bir şekilde ifade edebileceğimizi daha sonra göstereceğiz.

Bu, N üzerinde tümevarımla yapılacaktır. N = 1 durumu açıktır. Öyleyse N > 1 olsun ve (14.24)’ün N yerine N − 1 olan durumlar için, yani G ̃ = (V ̃ , E ̃ ) grafiğinde bir g ̃ vektörüne sahip olduğumuz durumlar için zaten kanıtlanmış olduğunu varsayalım. N farklı değerler 0 = t ̃ < … < t ̃ bileşenleri üzerinde ve burada 0 N−1 V ̃N−1 ⊆ V ̃N−2 ⊆ . . . V ̃1 = W ̃ ⊆ V ̃0 = V ̃ buna göre tanımlanır.

Bunu aşağıdaki örnek için kullanacağız. G ̃ := G − VN’yi tanımlayın (G ̃’nin köşeleri ve kenarları sırasıyla V ̃ ve E ̃’dir) ve g ̃ gogonV ̃’nin kısıtlaması olsun. Tüm k∈{0,…, N−1}.Daha sonra kk’yi tanımlarsak setsV ̃ buna göre V ̃ =V \V forallk∈{0,…,N−1}’ye sahibiz. Tüm k ∈ {0,…,N −1} için VN ⊆ Vk olduğuna dikkat edin k kkN, bu nedenle Ṽk kümeleri Vk kümelerinden tam olarak VN’deki köşe noktalarına göre farklılık gösterir.

The post Kromatik Sayı first appeared on Online (Parayla Ödev Yaptırma).