Ödevcim Online, Matrisler, Matris Nasıl Hesaplanır, Matrisler ve Doğrusal Dönüşümler, Matris Ödevi, Matris Yaptırma, Matris Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Matris danışmanlık, Matris yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.

En Küçük Kareler ve Tekil Değerler

L (x) = v doğrusal cebirsel denklemini düşünün, burada L: U −− → W ve v ∈ W bilinirken x bilinmemektedir. Gördüğümüz gibi, bu sistemin bir çözümü olabilir, çözümü olmayabilir veya sonsuz sayıda çözümü olabilir. Ancak v, L aralığında değilse, L (x) = v için hiçbir zaman çözüm olmayacaktır.

Ancak, birçok uygulama için sistemin kesin bir çözümüne ihtiyacımız yoktur; bunun yerine, yalnızca mümkün olan en iyi yaklaşıma ihtiyacımız olabilir.

“Çalışmam her zaman Gerçeği Güzel ile birleştirmeye çalıştı, ancak birini veya diğerini seçmek zorunda kaldığımda, genellikle Gerçeği Güzel’i seçtim.”

W vektör uzayı, vektörlerin uzunlukları kavramına sahipse, || L (x) – v || ‘yi en aza indiren x’i bulmaya çalışabiliriz.

Bu yöntemin, bir (belki doğrusal) işlevi “gürültülü” bir gözlemler kümesine sığdırmaya çalışmak gibi birçok uygulaması vardır. Örneğin, bir bisikletin yarış pistindeki konumunu her beş saniyede bir ölçtüğümüzü varsayalım. Gözlemlerimiz kesin olmayacak, ancak gözlemler ortalama olarak doğru olduğu sürece, bisikletin pozisyonunun zaman açısından mümkün olan en iyi doğrusal fonksiyonunu bulabiliriz.

M’nin U ve W için bazı bazlarda L: U → W doğrusal fonksiyonunun matrisi olduğunu varsayalım. V ve x vektörleri, bu bazlarda V ve X sütun vektörleri ile temsil edilir. O zaman yaklaşmalıyız

MX − V ≈0.

DimU = n ve dimW = m ise, M’nin sırasıyla bir m × n matrisi ve x ve v ile Rn ve Rm’de vektörler olarak temsil edilebileceğine dikkat edin. Böylece W = L (U) ⊕ L (U) ⊥ yazabiliriz. O zaman v∥ ∈ L (U) ve v⊥ ∈ L (U) ⊥ ile v = v∥ + v⊥ ‘yi benzersiz bir şekilde yazabiliriz.

Bu yüzden L (u) = v∥’yi çözmeliyiz. Bileşenlerde, v just sadece V −MX’tir ve sonunda en aza indirmek isteyeceğimiz kısımdır.

M açısından, L (V) ‘nin M sütunlarına yayıldığını hatırlayın (Standart temelde, M’nin sütunları Me1, …, Men’dir.) O zaman v⊥, M sütunlarına dik olmalıdır. . ör. MT (V – MX) = 0 veya MT MX = MT  V olur.

X için MTMX = MTV çözümlerine en küçük kareler çözümleri denir.
MX = V. X’den MX = V’ye herhangi bir çözümün en küçük kareler çözümü olduğuna dikkat edin.

Ancak, konuşma genellikle yanlıştır. Aslında, M X = V denkleminin hiç çözümü olmayabilir, ancak yine de M T M X = M T V için en küçük kare çözümleri vardır. M bir m × n matris olduğundan, MT’nin bir n × m matris olduğunu gözlemleyin. O zaman MT M bir n × n matristir ve simetriktir, çünkü (MT M) T = MT M. Daha sonra, herhangi bir X vektörü için, bir sayı elde etmek için XTMTMX’i değerlendirebiliriz. Yine de bu çok güzel bir sayı! Bu sadece uzunluktur | MX | 2 = (MX) T (MX) = XT MT MX.

Şimdi kerL = {0} olduğunu varsayalım, böylece MX = 0 için tek çözüm X = 0. (Bu, M’nin ters çevrilebilir olduğu anlamına gelmez, çünkü M bir n × m matrisdir, dolayısıyla mutlaka kare değildir.) matrix MTM ters çevrilebilir. Bunu görmek için, MT MX = 0 olacak şekilde bir X vektörü olduğunu varsayalım. Ardından XT MT MX = | MX | 2 = 0 olacaktır. Diğer bir deyişle, MX vektörü sıfır uzunluğa sahip olacaktır, bu nedenle yalnızca sıfır olabilir vektör. Ancak kerL = {0} olduğunu varsayıyoruz, dolayısıyla MX = 0, X = 0 anlamına gelir.

Böylece, M T M’nin çekirdeği {0} olduğu için bu matris tersinirdir. Dolayısıyla, bu durumda, en küçük kareler çözümü (MT MX = MV’yi çözen X) benzersizdir ve şuna eşittir: X = (MT M) −1MT V. Özetle, bu en küçük kareler yöntemidir:

• MTM ve MTV’yi hesaplayın.
• (M T M) X = M T V’yi Gauss eliminasyonu ile çözün.

Örnek :

Kaptan Conundrum, eğik Pisa kulesinden düşüyor ve üç farklı zamanda hızının üç (oldukça titrek) ölçümünü yapıyor.

Bazı hesaplamalar1 aldıktan sonra, verilerinin en iyi şekilde düz bir çizgiyle tahmin edildiğine inanıyor.

O zaman verilere en iyi uyan a ve b’yi bulmalıdır.

Bir doğrusal denklem sistemi olarak bu şu olur:

Muhtemelen gerçek bir düz çizgi çözümü yoktur, bunun yerine M T M X = M T V’yi çözün.

Bu, en küçük kareler uydurma doğrudur; v = 10 t + 1/3 olur.

Bu denklemin Kaptan Conundrum’un 10 m / s2’de İtalyan toprağına doğru hızlandığını (bu gerçekliğe mükemmel bir yaklaşımdır) ve 1 m / s aşağıya doğru bir hızda başladığını belirtilmiştir ; 

 Projeksiyon Matrisleri

MX = V’nin çözümü olmasa bile MTMX = MTV’nin çözümleri olduğunu gördük. Bunu düşünmenin bir yolu, M’nin ortak etki alanı doğrudan toplam;

codom M = ranM ⊕ ker M T
Vk ∈kerMT veVr ∈ran M ile V = Vr + Vk yazmak için tek bir yol vardır ve Mx = V yalnızcaV ∈ran M ⇔Vk = 0’ın çözümüne sahiptir. Değilse, MX = V çözümüne en yakın şey, MX = Vr. 

Ama işte başka bir soru, Vr’ye M ve V’nin verildiğini nasıl belirleyebiliriz? Cevap basit; X’in MX = Vr’ye bir çözüm olduğunu varsayalım. Sonra

MX = Vr = ⇒ MTMx = MTVr = ⇒ MTMx = MT (Vr +0)
= ⇒ MTMx = MT (Vr + Vk) = ⇒ MTMx = MTV = ⇒ X = (MTM) −1MTV
eğer gerçekten M T M tersinir ise. Varsayım gereği X bir çözüm olduğu için

M (MTM) −1MT V = Vr.
Yani, thematrixwhichprojectsV ontoitsranM partisM (MTM) −1MT olur.

Örnek: 

Tekil Değer Ayrışımı

Doğrusal L varsayalım: V −−− → W.
V ve W için bazlarda dim V =: n = m: = dimW soam × nmatrixM ofL’nin kare olmaması olası değildir. Bu nedenle, tercih edilen temeli ortaya çıkarmak için kullanabileceğimiz özdeğer problemi yoktur. Bununla birlikte, V ve W vektör uzaylarının her ikisinin de iç çarpımları varsa, özdeğer probleminin bir analogu, yani L’nin tekil değerleri vardır.

Tekil değer ayrıştırması olarak bilinen güçlü tekniğin ayrıntılarını vermeden önce, bunun Eugene Wigner’in “Matematiğin Mantıksız Etkililiği” olarak adlandırdığı şeyin mükemmel bir örneği olduğuna dikkat edin.

Ödevcim Online, Matrisler, Matris Nasıl Hesaplanır, Matrisler ve Doğrusal Dönüşümler, Matris Ödevi, Matris Yaptırma, Matris Ödevi Yaptırma aramalarınızın sonucu olarak burada. Tüm bölümlerde Matris danışmanlık, Matris yardım talepleriniz için akademikodevcim@gmail.com mail adresinden bize ulaşabilir veya sayfanın en altındaki formu doldurup size ulaşmamızı bekleyebilirsiniz.

The post Matrisler (29) – En Küçük Kareler ve Tekil Değerler – Matrisler Ödev Yaptırma first appeared on Online (Parayla Ödev Yaptırma).