Bileşen boyutunun analizi için, önce dev bir bileşenin olmadığı durumu düşünün. Dev bir bileşen, boyutu Θ(n) olan bir bileşendir. Bu nedenle, tüm bileşenlerin limitte bile sonlu boyuta sahip olduğunu varsayıyoruz. Ağın neredeyse ağaç benzeri olduğunu tekrar varsayın.

Yine sonuçlar, belirli stokastik olayların bağımsızlığına ilişkin ilave varsayımlara tabidir. Ve yine, bu varsayımlar belirli dağıtımlar için yanlıştır ve büyük ağlar için muhtemel olsa da, bunların nerede uygulanabilir olduğu açık değildir. Bu varsayımlara işaret etmek için, ilgili stokastik olaylara daha yakından bakacağız.

Bu bölümde her zaman olduğu gibi, köşe derecesi p’nin belirli bir olasılık dağılımı için rastgele bir G grafiği oluşturun. Ardından, G’nin kenarları arasından rastgele bir e kenarı seçin. e’nin köşelerinden biri olan v’yi seçmek için yazı tura atın. İlgilendiğimiz rasgele değişken, G \ e’deki v’nin bileşeninin boyutudur. P◦ onun dağılımı olsun ve p∗ bu rasgele deneyle bulunan G\e’deki v derecesinin dağılımı yukarıdaki gibi olsun. 

Genelde k için v’nin derecesi, n1,…,nk, G\e’de v’nin komşuları olsun. Ayrıca, zahmetli bir tanıma ihtiyacımız var: Pk(s − 1) := Pr[G \ {e,(v,n1),…(v, nk)} toplamı s − 1’e kadar.] O zaman ne zaman yazılabilir: p◦(s) = p∗(k)Pk(s − 1).

Pk nasıl hesaplanır? Kenarlarından birini kaldırırken, rastgele seçilen bir tepe noktasının bileşen boyutunun dağılımına genel olarak eşit değildir. Yukarıdaki deneyde, bir tepe noktasının derecesi ne kadar yüksekse seçilme olasılığının o kadar yüksek olduğunu dikkate alın. Öte yandan, ağaç benzeri bir yapı varsayarsak, nj’nin bileşen boyutu G\{e,(v,n1),…(v,nk)}’de G\(v,nj)’deki ile aynıdır. 

Şimdi, deneyimizin G’deki tüm kenarlar arasında (v,ni) kenarlarını bağımsız ve düzgün bir şekilde rasgele seçtiğini varsayalım, o zaman Pk, p◦’ye göre dağıtılan k rasgele değişkenin toplamı olarak dağıtılır. Bu varsayımlar genel olarak doğru değildir. Yine de, incelenmekte olan özel bir durum için uygulanabilirliklerini kabul edersek, p’nin üretici fonksiyonu için şu sonuca varabiliriz.

Pk’yi p◦’nin k bağımsız gerçekleşmelerinin toplamının dağılımı olarak varsaydığımız için, GPk (x) = Gkp◦ (x) ve Gp◦ (x) = x p∗(k)(Gp◦ (x) )k. Bu k olarak yeniden ifade edilebilir.

Benzer bir şekilde, rastgele seçilen bir köşenin bileşen boyutunun dağılımı olan p• için bir tutarlılık gereksinimine ulaşırız. Burada yapılan stokastik bağımsızlık varsayımları genel olarak doğru değildir. Belirli bir derece dağılımı için doğrulandıkları kabul edilse de, işlevsel hala genel çözümlerine karşı çıkıyor. Özel durumlar için sayısal çözümler yapılmıştır.

Ancak rastgele bir tepe noktasının beklenen bileşen boyutu doğrudan bu denklemlerden hesaplanabilir. Bir dağılımın beklentisi, üretici fonksiyonunun 1 noktasındaki türevidir.

Canva boyut ayarlama
Html boyut ayarlama
Fotoğraf boyutlandırma
Html yazı boyut ayarlama
Resmi A3 boyutuna getirme
JPG boyut büyütme
Yeniden boyutlandırma
Canva afiş boyutu

Şimdiye kadar dev bir bileşene, yani grafikle doğrusal olarak büyüyen bir bileşene sahip grafikleri hariç tuttuk. Böyle bir bileşen üretecek bir dağılım için, bir döngü olasılığı elbette artık göz ardı edilemez.

Bununla birlikte, yine de ağaç benzeri bir yapıyı iyi bir yaklaşım olarak çıkarırsak, beklenen bileşen boyutu artık köşe sayısı olan n’den bağımsız olmamalıdır.

Aslında G′p∗ (1) → 1 için denklem (13.16) ıraksar, yani sınırsız n için beklenen bileşen boyutunun sınırlı olmadığı anlamına gelir. G′p∗ (1) = 1’den ne türetilebilir?

Bu denklem, soldaki toplam 2’den büyük dereceli köşelerin nispi sayısıyla monoton bir şekilde arttığından, dev bir bileşenin oluşumuna faz geçişini işaretler.

Dev bileşen grafiğin ne kadarını kaplıyor? [448]’de, bileşen boyutuyla ilgili yukarıdaki değerlendirmelerin, grafiğin ‘dev olmayan’ kısmı için hala geçerli olduğu iddia edilmektedir. Ancak bu durumlarda Gp•(1) 1’den küçük olur.

Çizgilerinin ardından, bu da köşe kümesinin dev olmayan bileşenler tarafından kapsanan kısmını vermelidir. Başka bir deyişle, n(1 − Gp•(1)) dev bileşendeki (beklenen) köşe sayısına eşittir.

Dev olmayan kısım hakkındaki bilgileri hesaplayarak grafiğin tamamıyla aynı derece dağılımını gösterdiğini ima ettiğimiz için bu cüretkar bir iddiadır. Örneğin, yüksek dereceli köşelerin dev bileşende olma olasılığı daha yüksek olabilir. Belki de bu hesaplamalar, en azından çoğu durumda, gerçekten makul sonuçlara yol açıyor, ancak emin olmak için herhangi bir matematiksel sebep gösteremiyoruz.

İki Parçalı Grafikler için İşlevler Oluşturma

Şimdiye kadar bu bölüm, yalnızca derece dağılımı bilgisinden mümkün olduğu kadar fazla bilgiyi sıkıştırmak için fonksiyon üretmeye dayalı birkaç fikir topladı. Bazıları daha ileri varsayımlara bağlıdır, bazıları diğerlerinden daha az uygundur. Literatürde çıkarılan bazı sonuçlar, sorgulanabilir geçerlilikleri nedeniyle dışarıda bırakılmıştır.

Sonunda biraz daha uygulamalı hale geldik. Birçok gerçek dünya ağı ikili bir yapı gösterir. Örneğin, enfeksiyonların bir toplulukta nasıl yayılabileceğini analiz etmek için kullanılan bir grafik modeli buluyoruz. Model, kişiler ve yerler olmak üzere iki köşe kümesinden ve herhangi bir kişiden kişinin düzenli olarak ziyaret ettiği herhangi bir yere giden kenarlardan oluşur.

Ortak yazar veya başrolü paylaştığı ağ gibi diğer örneklerde olduğu gibi, bize iki parçalı veriler verilir, ancak ilgi genellikle köşe kümelerinden birine, çoğunlukla da kişilere yönelik izdüşümdedir. Kişiler ve yerler için a ve b dereceli iki olasılık dağılımının ve kişi ve yer sayıları arasındaki ρ kesrinin verildiğini varsayalım.

ρ’ya göre n köşenin bir bölümünü yapın, bölümün bir bölümünde a ve b’yi gerçekleştirin ve bölüm kümelerinde aynı bölüm ve derece dizilerine sahip n köşenin tüm ikili grafikleri arasından H ̄’yi tekdüze olarak rastgele seçin.

H, H̄’nin kişilerin köşeleri üzerindeki izdüşümü ve p, derece dizisinin karşılık gelen dağılımı olsun. O zaman Gp = Gb(Ga∗ ) ve Gp∗ = Gb∗ (Ga∗ ) olur. Artık fonksiyon üretme mekanizmasının tamamı tekrar uygulanabilir. Bu şekilde, işlev üretme, bize verilen iki parçalı veriler ile ilgilendiğimiz öngörülen davranış arasındaki boşluğu kapatmaya yardımcı olabilir.

The post Bileşen Boyutu first appeared on Online (Parayla Ödev Yaptırma).