Rastgele grafikler için birkaç model biliyoruz. Bazı grafikler verildiğinde, bu modellerden hangisi onu en iyi tanımlar? Bu bölümde, farklı rasgele grafik modellerinden grafikleri tanımak için spektral yöntemlerin kullanımına ilişkin bazı fikirlere dikkat çekeceğiz.

Bu bölümde sadece komşuluk spektrumunu ele alacağız. İlk bölümde, bu spektruma dayalı olarak bazı yeni grafik parametreleri tanımlayacağız. Sonraki bölümlerde, spektrumun histogram çizimlerine ve bu yeni parametrelerin farklı rasgele grafik modelleri için davranışına bakacağız.

Son olarak, rasgele kuvvet yasası grafiklerinin komşuluk spektrumu ile ilgili bazı analitik sonuçları kısaca gözden geçireceğiz.

Yeni Grafik İstatistikleri

Bir grafiğin spektrumu ve onun özvektörlerinin kümesi grafik istatistikleridir, daha kesin olarak küresel dağılımlardır. Grafik istatistiklerinin genel bir tartışması gerekir.

Bir çoklu grafik, spektrumu artı özvektörleri tarafından tam olarak belirlenen izomorfiye bağlıdır. İlgili özellikleri elde etmek için bu bilgilerin yalnızca seçilen kısımlarını saklayan yeni istatistikler tanımlamak mantıklı görünmektedir.

Ters Katılım Oranı

Bir özvektörü, köşelere ağırlık ataması olarak yorumlayabileceğimizi hatırlayın. Bu ağırlıkların nasıl dağıldığını soracağız. Diğerlerine kıyasla nispeten büyük ağırlıklara sahip birkaç köşe var mı (bu durumda yüksek bir yerelleştirmeden de bahsediyoruz) veya ağırlıklar tüm köşeler için çok mu benzer?

G bir grafik olsun ve w1,…,wn komşuluk matrisinin normalize edilmiş özvektörleri olsun. j’inci öz-vektörün ters katılım oranını şu şekilde tanımlarız.

Özvektörler normalize edildiğinden, tüm j ∈ n {1,…,n} için Ij (G) ∈ [ 1 , 1]’e sahibiz. Ters katılım oranı, bir özvektörün yerelleştirme derecesini ölçer. Bu, aşırı durumlar dikkate alındığında netleşir. Önce wj’nin grafik üzerinde mükemmel şekilde eşit dağılmış ağırlıkları tanımlamasına izin verin.

Belirli grafik sınıflarında, en büyük özdeğer, spektrumun geri kalanından “kaçma” eğilimindedir. Örneğin, bazı rasgele grafik modellerinde durum budur. Bu nedenle miktarı incelemek ilginçtir.

R(G), spektrumun geri kalanının aralığına göre normalize edilmiş ikinci en büyük özdeğer olan λn−1’den λn ofsetini yakalar. Fark edildiği gibi, R(G) ile kromatik sayı χ(G) arasında bir korelasyon vardır. ε’yi denklemle tanımlayın.

|ε| için küçük, λn hariç tüm özdeğerleri içeren en küçük aralık neredeyse 0 civarında ortalanır. (Belirli rasgele grafikler için, |ε| aslında küçüktür.) Kromatik sayı üzerinde uç özdeğerler açısından sınırlar olduğunu hatırlayın.

Buluşsal yöntem nedir
Temsil kısayolu örnekleri
Höristik karar verme
Representativeness heuristic example
Representativeness heuristic nedir
Bulunabilirlik kısayolu
Temsil kısayolu olasılık
Höristik ne demek

Rastgele Grafiklerin Spektral Özellikleri

Farklı modellerden rastgele grafikler, spektral özelliklere bakılarak ayırt edilebilir mi? Bu soruna yaklaşmanın bir yolu, çok sayıda rastgele deneyin sonucunu incelemektir. Bu tür bazı deneylerin bazı sonuçlarını sunacağız ve olası yorumları tartışacağız. Ele alınan üç rasgele model, Erdoğan’ın ve R’enyi’nin modeli, G(n,p), ölçeksiz grafikler ve küçük dünya grafikleridir.

İlk olarak, rastgele oluşturulmuş bir dizi grafiğin özdeğerlerinin histogram çizimlerine bakarak bu modellerin spektrumlarında nasıl farklılık gösterdiğini araştırıyoruz. Ardından tanımlanan ters katılım oranlarını karşılaştırırız.

Son olarak, tanımlanan en büyük özdeğerlerin ofsetlerine de bakarız. G(n,p)  benzeri grafikler üzerinde duracağız. Sayısal deneylerimiz için küçük bir C programı yazdık (yaklaşık 600 satır kod). Özdeğerleri ve daha sonra (ters katılım oranları için) ayrıca özvektörleri hesaplamak için Sun Performance Library’den ssyev işlevini kullanırız. Gerçek araziler gnuplot kullanılarak yapıldı.

G(n,p) ile başlayalım. G(2000, 1 )’e göre rastgele 100 grafik oluşturduk ve spektrumlarını hesapladık. İlk gözlem, tüm bu deneylerde en büyük özdeğerin spektrumun geri kalanından önemli ölçüde saptığıdır.

Bu ofset daha sonra açıkça dikkate alınacağından, şimdilik en büyük özdeğeri değerlendirmelerimizin dışında tutuyoruz. Dolayısıyla, bu bölümün geri kalanında “spektrum”dan bahsederken “en büyük özdeğeri olmayan spektrum”u kastediyoruz.

Tüm spektrumların bir görselleştirmesini elde etmek için, 100 rasgele grafiğin tümünün özdeğerlerinin bir histogramını hesapladık. Bu teknik, diğer rasgele grafik modelleri için de kullanılacaktır. Bu histogramlar tarafından tahmin edilen miktar aynı zamanda spektral yoğunluk olarak da bilinir. Bu kavramı resmi olarak tanıtmasak da, aşağıda özdeğerlerin dağıtılma biçimine atıfta bulunurken bu terimi ara sıra da kullanacağız.

Tüm histogramlar, 1’lik bir alanı kapsayacak şekilde normalize edildikten sonra aşağıdaki şekilde ölçeklendirildi. λ1 olsun, λN özdeğerler olsun. (Bizim durumumuzda N = 100 · (2000 – 1), çünkü her biri 2000 özdeğere sahip 100 grafiğimiz var ve her grafik için bunların en büyüğünü hariç tutuyoruz). λ ̄’yi tüm bu değerlerin ortalaması olarak da tanımlayın.

Farklı boyutlardaki grafiklerin spektrumlarını karşılaştırmayı kolaylaştırır. Ölçeklenmiş histogramı gösterir. Yarım daire formu aslında sürpriz değil. Bu, yarım daire yasası olarak bilinen rasgele matris teorisinin klasik bir sonucunu takip eder. Başlangıçta bir dizi araştırmacı tarafından da geliştirildi ve daha sonra rafine edildi.

Şimdi Baraba ́si-Albert grafikleri gibi tercihli bağlanma ile evrimsel bir süreçten kaynaklanan grafiklere bakıyoruz. Tercihli ekli grafikler oluşturmak için çok basit bir algoritma da uyguladık. Yalnızca bir m parametresi de vardır (köşe sayısı n dışında).

Süreç m bağlantısız köşe ile başlar. Ne zaman yeni bir köşe gelse, eski köşelere m kenarlarla bağlanır. Bu amaçla, algoritma m kez eski köşeler kümesinden rastgele bir tepe noktası seçer. Eski bir tepe noktasının seçilme olasılığı, derecesi ile orantılıdır; ilk adımda, tüm köşeler 0 derecesine sahip olduğunda, her birinin eşit derecede seçilme olasılığı da elbette ki vardır.

Tercihli ek grafikleri oluşturmanın bu yolu, genellikle çoklu kenarlara izin verildiği düşünülenden biraz farklıdır. Bununla birlikte, spektrumların elde edilen histogramları, çoklu kenarların oluşmadığı histogramlara çok benzer bir şekilde de görünmektedir. Karşılaştırma için, tercihli bağlantı grafiklerimiz ve G(n,p) grafikleri için grafikleri tek bir şekilde de gösterir.

The post Buluşsal Yöntemler first appeared on Online (Parayla Ödev Yaptırma).