Misal

Z2 üzerinde ters çevrilebilir bir matristir;

Uygulama: Kriptografi Bilgiyi gizlemenin çok basit bir yolu, alfabenin yerleştirildiği ve bir mesajdaki her harfin sistematik olarak bir başkasıyla değiştirildiği bir ikame şifresi kullanmaktır. Örneğin, ROT-13 cypher, alfabede on üç basamaktan önce veya sonra harfle bir harf değiştirir.

Örneğin HELLO, URYYB olur. Algoritmanın tekrar uygulanması mesajın kodunu çözer ve URYYB’yi tekrar HELLO’ya çevirir. Değiştirme şifrelerinin kırılması kolaydır, ancak temel fikir pratikte kırılamayan kriptografik sistemler oluşturmak için genişletilebilir. Örneğin, bir kerelik ped, mesajdaki her harf için farklı bir ikame kullanan bir sistemdir. Belirli bir ikame seti birden fazla mesajda kullanılmadığı sürece, tek seferlik alan kırılamaz.

İngilizce karakterler genellikle bilgisayarlarda ASCII formatında saklanır. ASCII’de tek bir karakter, Z82’de bir vektör olarak kabul edebileceğimiz sekiz bitlik bir diziyle temsil edilir (bu, R8’deki girişlerin sıfır ve bir olduğu vektörler gibidir). Bir ikame şifresi oluşturmanın bir yolu, 8 × 8 ters çevrilebilir bit matrisi M seçip mesajın her harfini M ile çarpmaktır. .

Mesajın kodunu çözmeyi biraz daha zor hale getirmek için, harf çiftlerini (veya daha uzun dizilerini) Z16’da (veya daha yüksek boyutlu bir uzayda) tek bir vektör olarak düşünebiliriz ve daha sonra uygun boyutlu bir ters çevrilebilir matris kullanın. Kriptografi hakkında daha fazla bilgi için Simon Singh’in (1999, Doubleday) “The Code Book” adlı kitabına bakabilirsiniz.

Sorunları Gözden Geçirme

1. Tekil olmadıklarında aşağıdaki matrislerin tersleri için formülleri bulun:

a) (1 0 0, bir 1 0, b c 1)
b) (bir 0 0, b d 0, c e f)

Bu matrisler ne zaman tekildir?

2. Tüm 2 × 2 bit matrislerini yazın ve hangisinin tekil olduğuna karar verin. Tekil olmayanlar için onları tersleriyle eşleştirin.

3. M kare matris olsun. Aşağıdaki ifadelerin neden eşdeğer olduğunu açıklayın:

(a) M X = V, her V sütun vektörü için benzersiz bir çözüme sahiptir.

(b) M tekil değildir.

İpucu: Genel olarak, bunun gibi problemler için, anahtar kelimeleri düşünün:

İlk olarak, MX = V denkleminin iki farklı çözümü olacak şekilde bir V sütun vektörü olduğunu varsayalım. M’nin tekdüze olması gerektiğini gösterin; yani, M’nin tersi olamayacağını gösterin.

Sonra, MX = V denkleminin çözümü olmayacak şekilde bir V sütun vektörünün olduğunu varsayalım. M’nin tekil olması gerektiğini gösterin.

Son olarak, M’nin tekil olmadığını varsayalım. V sütun vektörü ne olursa olsun, MX = V için benzersiz bir çözüm olduğunu gösterin.

İpucu:

4. Sol ve Sağ Tersler: Şimdiye kadar sadece kare matrislerin terslerinden bahsettik. Bu problem, kare olmayan bir matris için sol ve sağ tersi kavramını keşfedecektir. İzin Vermek

A = (0 1 1, 1 1 0)

(a) Hesaplayın:

i. AAT,
ii. 􏰁AAT􏰂 − 1,
iii. B: = AT 􏰁AAT 􏰂 − 1

(b) Yukarıdaki B matrisinin A için sağ ters olduğunu gösterin, yani
AB = I.

(c) BA tanımlanmış mı? (Neden veya neden olmasın?)
(d) A, n> m olan bir n × m matris olsun. Sol ters C için bir formül önerin öyle ki
CA = I

İpucu: AT A’nın tersi olduğunu varsayabilirsiniz.

(e) Basit örnek için teklifinizi sol ters için test edin

Bir = (1/2)

(f) Doğru veya yanlış: Sol ve sağ tersler benzersizdir. Yanlışsa bir ver
karşı örnek.

5. 3 × 3’lük bir M matrisinin (R3 → R3 fonksiyonu olarak görüntülendiğinde) aralığı (bir fonksiyonun aralığının tüm çıktılarının kümesi olduğunu unutmayın, ortak alan değil) bir düzlem ise, sütunlar, diğer sütunların katlarının toplamıdır. Bu ilişkinin ERO’lar altında korunduğunu gösterin. Ayrıca, Mx = 0 çözümlerinin sütunlar arasındaki bu ilişkiyi açıkladığını gösterin.

6. M ve N, M − 1 olacak ve N − 1 olmayacak şekilde aynı boyutta kare matrislerse, (MN) −1 var mı?

7. M, tersine çevrilebilir olmayan bir kare matris ise, eM tersinir mi?

8. Temel Sütun İşlemleri (ECO’lar), ERO’larla aynı 3 türde tanımlanabilir. 3 tür ECO’yu tanımlayın. ECO’lar kullanılarak maksimum eliminasyon bir kare matris üzerinde gerçekleştirilirse ve bir sıfır sütunu elde edilirse, bu matrisin tersinir olmadığını gösterin.

LU Redux

Bazı matrislerle çalışmak diğerlerinden daha kolaydır. Bu bölümde, herhangi bir M kare matrisinin iki basit matrisin çarpımı olarak nasıl yazılacağını göreceğiz. Yazacağız

M = LU, nerede:

• L alt üçgendir. Bu, ana sayfanın üzerindeki tüm girişlerin
köşegen sıfırdır. Gösterimde, tüm j> i için lji = 0 ile L = (lji).

• U üst üçgendir. Bu, ana sayfanın altındaki tüm girişlerin
köşegen sıfırdır. Gösterimde, tüm j <i için uij = 0 ile U = (uij).

M = LU, M’nin LU ayrışması olarak adlandırılır.

Bu, hesaplama nedenleriyle faydalı bir numaradır; bir üst veya alt üçgen matrisin tersini hesaplamak genel matrislere göre çok daha kolaydır. Tersler doğrusal sistemleri çözmek için yararlı olduğundan, bu matrisle ilişkili herhangi bir doğrusal sistemi çözmeyi de çok daha hızlı hale getirir. Herhangi bir kare matrisle ilişkili çok önemli bir miktar olan determinantın, üçgen matrisler için hesaplanması çok kolaydır.

Örnek:

Üst üçgen matrislerle ilişkili doğrusal sistemlerin geri ikame ile çözülmesi çok kolaydır.

Daha düşük üçgen matrisler için ileri ikame hızlı bir çözüm sağlar; üst üçgen matrisler için geri ikame çözümü verir.