Şimdi alt grafiklerin rolü hakkındaki soruya farklı bir yönden yaklaşalım. Diyelim ki bir G grafiğiniz ve başka bir H grafiğiniz var ve G’yi H’nin bazı özdeğerlerini verecek şekilde değiştirmek istiyorsunuz.

Bağlantısız bir grafik için spektrum, bileşenlerinin spektrumlarının birleşimidir. Bunu görmek kolaydır. Ayrıca, verilen kurulumda hedefimize ulaşmak için bize basit bir yöntem sunar: H’yi G’ye ayrı bir bileşen olarak eklemeniz yeterlidir. Ancak, grafiğin bağlantısının korunması gerektiği durumlarda bu uygun bir yaklaşım değildir.

λ, G’nin spektrumuna eklemek istediğimiz H’nin bir özdeğeri olsun. Önce, λ’ya karşılık gelen özvektör x’in sıfıra eşit bir girdiye sahip olduğu, örneğin xi0 = 0 olduğu özel durumunu ele alalım. Grafiği düşünün. G’, G ve H’nin birleşimi olarak, burada H’nin i0 tepe noktası, G’nin rastgele bir tepe noktasıyla tanımlanmıştır.

H’nin i0 ve j0 boyunca G’ye aşılandığını söylüyoruz. λ için bir özvektör elde etmek için, G’deki G’nin tüm köşelerine 0 atayın. G’ içindeki H − i0’ın köşelerine x özvektörü tarafından verilen değerleri atayın. Özvektörlerin kombinatoryal yorumunu kullanarak, bunun özdeğer λ için G’nin bir özvektörünü verdiği kolayca doğrulanabilir.

Peki ya λ için sıfıra eşit bir girişle H’nin bir özvektörümüz yoksa? Hala benzer bir numara yapabiliriz. Bir i0 ∈ V (H) tepe noktası seçeriz ve H’nin iki kopyasını H+ ve H− yaparız. i ∈ V (H) tepe noktasının kopyalarına sırasıyla i+ ve i− denir. Daha sonra yeni bir i1 köşesi alırız ve H+ ile H−’yi iki yeni kenar {i+0 , i1} ve {i1, i−0 } üzerinden bağlarız. Ortaya çıkan grafiği H ̃ olarak adlandırın.

λ, H’nin bir özdeğeri ve x karşılık gelen bir özvektör olsun. O zaman aşağıdaki x ̃ vektörü, aynı özdeğer λ ile H ̃’nın bir özvektörüdür.

Şimdi, H ̃, i1 boyunca G’ye ve keyfi bir j0 ∈ V (G) tepe noktasına aşılanabilir. Böyle bir yapıya simetrik aşı diyoruz. H bir ağaçsa, H ̃’nın da bir ağaç olacağına dikkat edin.

Ağaçların simetrik aşıları, rasgele grafiklerin spektrumlarının analizinde önemli bir rol oynar; ayrıca 14.5.2’deki seyrek rasgele grafiklerle ilgili notlara bakın. Örnek olarak, üç köşedeki yolu düşünün, P3. Bu grafiğin özvektörlü (1/ 2, 1, 1/ 2) bir √√√⊤ özdeğeri 2 vardır.

Orta köşeyi i0 olarak alın. i1 boyunca aşılanmaya hazır simetrik yapıyı gösterir. Son olarak, bir köşe boyunca aşılamanın, birkaç köşe boyunca aşılamaya kadar doğal bir şekilde genişletilebileceğini belirtiyoruz.

Grafik İşlemleri

G1 = (V1, E1) ve G2 = (V2, E2) olmak üzere iki grafiği ele alalım. G1 + G2 toplamı, iki köşenin (i1, i2), (j1, j2) ∈ V1 × V2 olduğu V1 × V2 üzerindeki bir grafiktir, eğer biri (ancak ikisi birden değil!) {i1, j1} ∈ E1 veya {i2 ise , j2} ∈ E2. Öte yandan, (i1, i2) ve (j1, j2)’nin bir kenarı paylaşmasına izin vermek, ancak ve ancak {i1, j1} ∈ E1 ve {i2, j2} ∈ E2, Kartezyen çarpım grafiği G1 × G2’yi tanımlıyorsa. Kendisiyle dört köşede basit bir yolun toplamını ve çarpımını gösterir.

Mum grafikleri Okuma PDF
Mum grafikleri anlamları
Borsa mum grafik anlamları
4 saatlik kapanış ne demek
Kriptoda iğne atmak ne demek
4 saatlik mum kapanış ne Demek
Borsada yaş mum ne demek
Grafikte iğne atmak ne demek

Küresel İstatistiklerin Sınırları

Belirli özdeğerler, özellikle aşırı özdeğerler, küresel istatistik için sınırlar verir. Global bir istatistiğin her grafiğe (bazı grafik sınıflarından) tek bir değer atadığını hatırlayın. Bu istatistiklere bazen grafik parametreleri de denir. Grafik parametrelerinde özdeğer sınırlarının bir seçimini inceleyeceğiz.

Bir i köşesinin d(i) derecesinin, i’ye gelen kenarların sayısı olduğunu hatırlayın. Bu bölümde sadece bazı sonuçlardan alıntı yapıyoruz. Çapın iki köşe arasındaki en büyük mesafe olduğunu hatırlayın. Laplacian’ın özdeğerleri, bağlı bir grafiğin çapı üzerinde sınırlar sağlar. Ortalama mesafe ρ ̄’nin, farklı köşeler arasındaki tüm mesafelerin ortalaması olduğunu hatırlayın.

λ2(L)’nin sıfırdan farklı olduğunu ancak ve ancak grafik bağlantılıysa zaten biliyoruz. λ2(L) ile bağlanabilirlik özellikleri arasında daha fazla ilişki fark edildi. λ2(L) bu nedenle cebirsel bağlanabilirlik olarak da adlandırılır. Biz sadece onun sonuçlarını aktarıyoruz.

G bir grafik ve ω = π olsun. κ(G) ve η(G) n sırasıyla G bağlantısının kesilmesi için kaldırılması gereken minimum düğüm ve kenar sayısını göstersin.

Burada E(X, Y ), X’i Y’ye bağlayan kenarlar kümesini belirtir. Tanım, i(G)’yi mümkün olduğu kadar büyük bir X altkümesini geri kalan daha büyük Y parçasından ayıran mümkün olan en küçük kenar kesiminin boyutu olarak karakterize eder.

Bu nedenle, i(G), düğümlerin büyük bir bölümünü izole etmek için bir ağdan kaç kenar çıkarmamız gerektiğinin bir ölçüsüdür. Bu, i(G)’yi hem ağ bağlantısıyla hem de VLSI tasarımında önemli uygulamaları olan minimum ikiye bölme sorunuyla ilişkilendirir.

G’nin bağlantısı kesilirse i(G) = 0 elde ederiz. İzoperimetrik sayı ile λ2(L) arasındaki iyi bilinen bir ilişki, i(G) ≥ λ2(L) olduğunu belirtir. λ2(L) ≤ 2 durumunda, bu sınır aşağıdaki 2 sonuç tarafından daha iyi performans gösterir.

G bağlantısı kesilirse, o zaman λ2(L) = 0 ≤ ∆. Öyleyse G bağlı olsun. Daha sonra G, uyarılmış bir alt grafik olarak üç P3 köşesinde bir yol içerir.

(Aksi takdirde, G tam olacaktır: i ve j olmak üzere iki köşe alın ve en kısa i-j yolunun uzunluğunda tümevarım yoluyla bir kenarın var olduğunu gösterin {i, j}.) Örneklerden şunu biliyoruz ki λ2(A(P3) ) = 0 olur.  

Kanıt birkaç sayfa kaplar ve daha fazla teknik ayrıntı içerir. Yine de Laplace özdeğerlerinden önemsiz olmayan sınırları nasıl elde edebileceğimize dair güzel bir kanıt ve ilginç bir örnek söz konusudur.

The post Alt Grafikler  first appeared on Online (Parayla Ödev Yaptırma).